matematika Archives - Modra akademija

UČENJE PO MERI VSAKEGA UČENCA – S PORTALOMA IZZIROKUS IN 5KA

Klaudija Doljac — Tue, 30 Aug 2022 13:13:32 +0000

UČENJE PO MERI VSAKEGA UČENCA – S PORTALOMA IZZIROKUS IN 5KA

Založbi Rokus Klett in Modrijan izobraževanje ter resnozabavna spletna učilnica 5KA na VOYO skupaj za podporo učencem in učiteljem

Z novim šolskim letom se portal IzziRokus, ki ga učencem in učiteljem ponujata založbi Rokus Klett in Modrijan izobraževanje, partnersko povezuje z resnozabavno spletno učilnico 5KA na VOYO. Osnovnošolci in starši imajo tako na voljo kar dve odlični poti do boljših ocen v šoli – portal IzziRokus z bogato zbirko atraktivnih interaktivnih učnih elementov in spletno učilnico 5KA z več kot 1200 poučnimi in zabavnimi filmčki, ki jih je odpredavalo 16 učiteljev in z njimi predelalo 12 osnovnošolskih predmetov ter tako šolarjem na zanimiv način približalo šolsko snov.

Portal IzziRokus (www.IzziRokus.si) ponuja interaktivna učna gradiva za več predmetov, ki besedilo obsežno dopolnjujejo in nadgrajujejo s kratkimi izobraževalnimi filmi uglednih svetovnih ponudnikov (BBC, Discovery, Twig, National Geographic), animacijami ter kratkočasnimi interaktivnimi nalogami več vrst. Prinaša tudi številne dodatne funkcionalnosti, kot so možnost poslušanja avdioposnetkov daljših besedil, dodajanje lastnih beležk in sprotno spremljanje lastnega napredka.

5KA ponuja bogat nabor zabavnoresnih izobraževalnih filmčkov za osnovnošolce, ki so nastali v sodelovanju z učitelji praktiki. Učitelji v spletni učilnici snov razlagajo na razumljiv in zabaven način, zato je učenje še bolj privlačno za današnje generacije.

Maruša Dejak, glavna direktorica založb Rokus Klett in Modrijan izobraževanje:

»Za skupen medijski nastop in partnerstvo, ki ga nameravamo še nadgraditi, smo se odločili, saj predano verjamemo v moč znanja, ki ga v digitalni dobi mladim generacijam moramo približati na njim všečen in razumljiv način. Naš digitalni portal IzziRokus z multimedijskimi učbeniki, polnimi atraktivnih videoposnetkov, animacij, simulacij, 3D-modelov in seveda raznovrstnih interaktivnih nalog, ter svež, zabaven pristop k razlagi učnih snovi, kot ga prinaša spletna učilnica 5KA, sta gotovo odlična kombinacija za vsakega učenca in učitelja. Učencem in učiteljem tako ponujamo vsebine učnih načrtov s pomočjo sodobnih multimedijskih rešitev. Pri pripravi obeh portalov je sodelovala večja skupina izbranih učiteljic in učiteljev, kar je dodatno zagotovilo, da učence naslavljamo na ustrezen in njim prijazen ter zanimiv način.«

Blaž Bezek, Direktor razvoja vsebin in VOD storitev

»Ko govorimo o zabavni plati projekta, moramo predvsem imeti v mislih drugi pomen te besede. Ne gre za zabavo v smislu sproščanja, ampak za način podajanja vsebine in forme. Snov v resnozabavni spletni učilnici 5KA podajajo entuziastični učitelji, ki živijo svoj poklic in proaktivno sodelujejo pri snovanju vsebine, predavajo snov na izviren način, da se učna snov predstavlja v primernem kontekstu z zanimivimi primerjavami, da sta scenografija in grafična podoba videov barviti, privlačni in da so videi kratki, jedrnati, jasni. Bistvo ni v učenju na pamet, ampak v spoznavanju in razumevanju.

Produkcijska ekipa je tu naredila izjemno delo – od dolgih predpriprav, vsebinske zasnove projekta, iskanja primernih in za sodelovanje zainteresiranih učiteljev do priprave načrta učne snovi in postavitve produkcijskih planov.«

PREIZKUSI ZDAJ

IZKUŠNJA: USTVARJALNA MATEMATIKA – PROJEKTNA NALOGA IZ GEOMETRIJSKIH TELES

Klaudija Doljac — Tue, 05 Jul 2022 09:02:51 +0000

IZKUŠNJA: USTVARJALNA MATEMATIKA – PROJEKTNA NALOGA IZ GEOMETRIJSKIH TELES

Odkrijte skrite talente učencev s projektno nalogo iz geometrije, ki bo spodbudila njihovo domišljijo, iznajdljivost in samostojnost. Učiteljica iz Maribora je z nami delila projektno nalogo, ki spodbudi povezovanje usvojenega znanja in medpredmetne povezave.

Sem učiteljica matematike in s svojimi učenci zelo rada izvajam različne projekte, jih formativno spremljam in uporabljam IKT-metodo poučevanja.

Za izvajanje projektnih nalog sem se odločila iz mnogih razlogov. Opažam, da tak način dela pri učencih spodbuja abstraktno mišljenje in občutek za estetiko ter razvija in krepi domišljijo.

Učenci:

postanejo inovativni, domiselni, kreativni,
povezujejo usvojeno znanje,
znanje predstavijo v popolnoma drugačni obliki kot pri rednem pouku,
začnejo zaupati vase in v svoje ideje, ki jih morajo realizirati.

Poleg tega pa znanje medpredmetno povežejo z zgodovino, fiziko, tehniko in tehnologijo, likovno umetnostjo, arhitekturo, biologijo in zagotovo tudi z vsakdanjim življenjem.

Učenci 9. razreda se tako srečajo z novim izzivom v obliki projektne naloge, ki od njih zahteva, da izdelajo sestavljeno geometrijsko telo.

Samostojni od začetka do konca

Učence o projektu obvestim že na uvodni uri obravnave geometrijskih teles. Takrat si ogledamo nekaj izdelkov učencev iz preteklih let. Uporabimo jih zgolj za naštevanje, katera telesa vidijo. Ni treba drugega kot omeniti jim, da bodo nekaj podobnega izdelali tudi oni, in že začnejo naštevati, kaj bi oni želeli narediti, da pokažejo svojo kreativnost.

Ob predaji naloge učenci izvedo, da morajo izdelati sestavljeno geometrijsko telo, ga natančno opisati ter izračunati njegovo površino in prostornino.

Telo mora biti sestavljeno iz minimalno treh različnih geometrijskih teles, zgornje omejitve ni.

Ni nujno, da je statično, deli se lahko tudi premikajo.

Ob izdelku učenci izdelajo tudi projektno nalogo, ki obsega minimalno 6 strani. Za vsako telo narišejo skico, ji dodajo mere ter izračunajo površino in prostornino.

Svoje izdelke, izračune in ugotovitve ter opise predstavijo sošolcem.

Nastanejo različni spomeniki, cerkve, tehnični izdelki, roboti, živali, gradovi, cvetice … Domišljiji učencev ni videti konca. Ob zaključku projekta naredimo razstavo v učilnici ali v vitrinah na šolskih hodnikih.

Fotografija: avtorica prispevka.

S svojimi izdelki učenci povežejo in nadgradijo vsa svoja matematična znanja o oglatih in okroglih geometrijskih telesih.

Izdelki so v glavnem vrhunski, tako s tehnične kot z računske plati. Vsako leto sem nad domiselnostjo učencev presenečena in navdušena.

Moje mnenje je, da navedene projektne naloge učencem razvijajo domišljijo, praktično pokažejo, kaj so se naučili, razvijajo čut za odgovornost ter estetski odnos do izdelka in projektne naloge. Ocene so višje, kot jih dosežejo pri pisnem in ustnem ocenjevanju znanja, a si jih še kako zaslužijo.

Upam, da bo komu moj prispevek tako všeč, da bo še sam poskusil izpeljati kak projekt.

Avtorica prispevka: Biserka Bratovščak

Priloga: navodila za izdelavo projektne naloge

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

Aktualne izobraževalne teme v obliki krajših spletnih izobraževanj so že na voljo! Pridobite kompetence prihodnosti, znanja in veščine, ki pedagoškim in strokovnim delavcem omogočajo strokovno in osebno rast.

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

The post IZKUŠNJA: USTVARJALNA MATEMATIKA – PROJEKTNA NALOGA IZ GEOMETRIJSKIH TELES appeared first on Modra akademija.

IZKUŠNJA: »USPEŠEN SEM, KER SEM SE TAKO ODLOČIL«

Klaudija Doljac — Wed, 29 Jun 2022 16:03:28 +0000

IZKUŠNJA: »USPEŠEN SEM, KER SEM SE TAKO ODLOČIL«

Učiteljica Suzana Kranjec s posebno strastjo posveča veliko pozornost motivaciji učencev, saj se kot mnogo učiteljev matematike tudi sama srečuje z učenci, ki se matematike bojijo in zato verjamejo, da ji preprosto niso kos. V svojem prispevku je podala, kako že na začetku šolskega leta začne vlagati v motivacijo učencev, kako jo vzdržuje v vsem letu, ter tudi nekaj primerov, kako se loteva konkretnih težav, ki jih imajo učenci skozi leto.

»Nikoli mi ne morete dati toliko računov, kolikor jih jaz lahko narobe naredim …« To je stavek, nad katerim se moramo zamisliti tako starši in učitelji.

Vse je v otrokovi glavi. Uspešni ali neuspešni so, ker so se tako odločili. Kaj pa jih je pripeljalo do tega? Slaba samopodoba, premalo spodbudno okolje, trenutna družinska situacija, morda otrok tako išče pozornost, ki jo potrebuje?

Bodimo čuječi opazovalci situacij. Vprašajmo se, kdo je uspešen učenec. Uspešen učenec je tisti, pri katerem zaznamo napredek, ki ga je dosegel glede na svoje sposobnosti, glede na svoje predznanje, glede na svoje delovne navade, glede na okolje, v katerem živi.

Ne le učenci, tudi starši morajo biti motivirani

»Naš fante pa ne dela nalog, smo nad njim obupali …« in podobne zgodbe vsakodnevno srečujem v svoji praksi. Pogosto moram kot učiteljica motivirati tudi starše, ki so zelo hvaležni za sodelovanje. Prve dneve v septembru lahko učitelj in učenec po pouku uro ali dve ostaneta skupaj in učenec se hitro odloči, kaj je zanj prijetneje, narediti nalogo doma ali ostati po pouku in jo delati v razredu ob prisotnosti učitelja. Seveda pa je to treba narediti takoj v začetku septembra, ko otroci še ne občutijo stisk zaradi zanje neobvladljive snovi, saj se jih obenem s tem prepreči.

Ni pomembno, iz kakšnega okolja izhaja učenec, kakšne so njegove predispozicije, pomembna je notranja motivacija. Otroka moramo torej pripeljati do tega, da bo notranje motiviran.

V prvi šolski uri po predstavitvi programa oblikujemo pozitivne misli, ki so naše vodilo v vsem šolskem letu.
Naslednjo šolsko uro se učimo učiti. Najprej splošno in potem eksaktno pri matematiki. Poudarjam pomen pravilnega učenja, sistematičnega pristopa, kako pridobiti koncentracijo za delo in kako povečati našo učinkovitost. Torej kako porabiti čim manj časa za čim boljši učinek, kar za učence pomeni čim boljšo oceno.

Predvsem moram učencem pokazati pot, ki je lahko zelo težka in naporna. Pomembno pa je, da učenec sam s svojim trudom dokaže predvsem sebi, da zmore, da zmore narediti stvari, predvsem pa to, da razume, da so vse to njegove odločitve, da zna sprejemati odločitve, da jih mora sprejemati. Vsak otrok mora biti dovolj samostojen, da se sam odloča o stvareh, ki so njegovim letom primerne. To pa je mogoče, če ima dovolj samozavesti in ima občutek, da se lahko samostojno odloča in nosi posledice svojih odločitev brez potrebe po drugem mnenju.

To pa lahko dosežemo samo v varnem okolju, okolju, ki je predvidljivo, okolju, ki ga sprejemata učenec in družina, okolju, ki sprejema učenčeve vzpone in padce, okolju, ki mu dovoljuje, da se uči na napakah, zdrsih. Le tako lahko učenec dela samozavestno in samostojno.

V začetku šolskega leta torej skupaj z učenci oblikujemo varno okolje, okolje, iz katerega lahko učenec potegne moč, dobi svojo notranjo motivacijo in spodbudo. Učiteljeva naloga v tem varnem okolju pa je njegova vztrajnost, doslednost, zahtevnost, nepopustljivost, predvidljivost, čuječnost.

Skupaj oblikujemo pozitivne misli. Vsako šolsko leto začnemo z naslednjo mislijo avtorja Williama Walkerja Atkinsona: »Najboljši način, da se znebite negativnih misli, je, da gojite pozitivne misli.« Predstavim jim avtorja, njegovo delovanje in njegov življenjepis, da razumejo pomen njegove misli.

Poiščemo vse tiste negativne stvari, ki nam jemljejo moč in energijo, kar nam brani delo, da nimamo motivacije za učenje, poslušanje pri pouku, in jih spremenimo v naše pozitivne misli. Pomembno je, da to naredimo skupaj pri pouku.

Primeri strahu, ki ga izrazijo učenci, in kako se jih lotevam v svojem razredu

Primer 1:

Učenec: »Strah me je, da pri vajah pred tablo ne bom znal.«

Učitelj: »Zakaj te je strah?«

Učenec: »Da se mi bodo sošolci posmehovali.«

Učitelj: »Dogovorimo se, da velja pravilo, da kadar vadimo pred tablo, pomeni, da smo vsi še nevešči novih vsebin, da nam nove vsebine še niso blizu, da potrebujemo VSI veliko vaje, da jih osvojimo. To ne pomeni, da ne znamo, ampak da osvajamo skupaj nova znanja.«

V nadaljevanju pogovora natančno obrazložim svoj način delovanja v razredu. S tem se ustvari za učenca varno okolje.

V nadaljnjem razgovoru skupaj oblikujemo misli:

IŠČEMO SKUPNE REŠITVE ZA NADALJNJE DELO.
DRUG DRUGEGA SPODBUJAMO.
SKUPAJ ZMOREMO.
SPOŠTUJEM.
VEM, DA MI LAHKO USPE.

Primer 2:

Učenec: »Bojim se vprašati, če nečesa ne znam.«

Učitelj: »Zelo rad imam učence, ki vprašajo o tistem, česar ne znajo. Rad imam, da mi »težite« z vprašanji. To zame pomeni alarm, ker morda nečesa nisem dovolj dobro povedal. Morda moram razložiti drugače. Verjetno več učencev ne razume, ne samo ti, pa imajo ravno tako tremo vprašati.«

V nadaljnjem razgovoru skupaj oblikujemo misli:

DRUG DRUGEGA SPODBUJAMO.
VEDNO IMEJ PRED OČMI REŠITEV.
NE NEHAJ »TEŽITI« UČITELJU S SPRAŠEVANJEM.

Primer 3:

Učenec: »Bojim se, da bom kaj »neumnega« vprašal.«

Učitelj: »Nobeno vprašanje ni nikoli »neumno«. Zagotovo se enako vprašanje poraja tudi drugim učencem. S tem, ko vprašaš, rešiš dileme tudi sošolcu, ki si ga prehitel z vprašanjem in si tako marsikomu razjasnil stvari, ki jih morda še ni dobro razumel, pa tega niti ni vedel.«

V nadaljnjem razgovoru skupaj oblikujemo misli:

NE VRŽEM PUŠKE V KORUZO.
NE SODI KNJIGE PO PLATNICAH.

Izreke, ki nas motivirajo, si spišemo in jih pripnemo na oglasno tablo in so nam vodilo ob težkih trenutkih, ki pridejo med šolskim letom. Ko se med šolskim letom pri posamezniku pojavljajo vzponi in padci, se učenci med seboj spodbujajo z našimi skupnimi pozitivnimi mislimi.

Fotografije avtorice prispevka.

Stalna spodbuda pri vsaki šolski uri, mini pohvale, nasmehi, kratko prikimavanje, odobravanje učence motivira. Predvsem pa je pomembno, da s takim pristopom učenec pridobi delovne navade, ki ga pripeljejo do majhnih zmag, ki jih mora učitelj zaznati, jih pohvaliti, da učenec lahko naredi naslednji korak k svojemu napredku. Predvsem pa je pomembno, da učenec na lastni koži preizkusi, da z vztrajnostjo zmore, da je lahko uspešen, da je lahko pohvaljen in da je nagrajen za svoja prizadevanja z znanjem in posledično dobro oceno.

Rezultat:

Učenec spozna, da le s samostojnim trdim delom doseže rezultate, ki ga izpolnijo, saj čuti, da je njegov trud poplačan.
Čuti pristno osebno zadovoljstvo.
Ima dosti boljši uspeh pri matematiki, brez odvečnega strahu (»nisem pripravljen, lahko me preseneti, ne znam …«)
Pomembno je, da učenec ne doživlja stisk, ki so sicer redne spremljevalke otrok, ki se težko vključijo v šolski sistem in ugodijo vsem zahtevam našega izobraževalnega sistema.
Učenec zna sprejeti konstruktivno kritiko, kadar ni izpolnil pričakovanega, kar mu ne vzame motivacije za delo, ampak jo okrepi.

In še primer iz prakse

Bister učenec vse leto »štrajka« kljub mojim nenehnim spodbudam. Prizna, da je bil zanj najtežji trenutek, ko je izvedel, da ga bom učila jaz, ker je vedel, da bo pri meni moral intenzivno delati.

Vendar tudi mama nikakor ni sprejela mojih zahtev, saj se ji je sin smilil, ker se je moral veliko učiti. Tako je vztrajal tri četrtine leta, dokler ni prišel do mene samoiniciativno, se zjokal in priznal, da je »trmaril«, ker je mislil, da ne bo treba delati. Priznal je, da nima delovnih navad in da se ne zna učiti. Da pa si želi biti uspešen in da je imel izredno prijeten občutek, ker sem ga vedno pohvalila, kadar je znal, in ker nikoli nisem obupala nad njim kljub njegovemu ugovarjanju.

Prosil je za pomoč, kako naj se organizira, da bi popravil negativno oceno. Naredila sva načrt dela in učenec je pridobil izredno visoke ocene. Šolsko leto je zaključil uspešno. Naslednje šolsko leto je imel oceno prav dobro. Vpisal se je na srednjo šolo in mi vsako leto prinesel pokazat spričevalo. Povedal je, da se pri vseh predmetih drži enakih pravil, si piše načrte dela in pozitivne misli.

Avtorica: Suzana Kranjec

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

The post IZKUŠNJA: »USPEŠEN SEM, KER SEM SE TAKO ODLOČIL« appeared first on Modra akademija.

ENIČNA ŠTEVILA

Klaudija Doljac — Wed, 29 Jun 2022 15:44:48 +0000

ENIČNA ŠTEVILA

Leta 1907 je eden najpomembnejših rekreacijskih matematikov Henry Ernest Dudeney izdal svojo prvo knjigo Canterburyjske uganke (Canterbury Puzzles; aluzija na znano Chaucerjevo knjigo Canterburyjske zgodbe), ki jo je delno tudi sam ilustriral. 47. od 114 matematičnih ugank je povezana tudi s števili iz naslova.

Pravijo, da so se pred mnogo leti v vasi St. Edmondsbury neverjetno namnožile miši. Zato je opat bližnjega samostana pozval ljudi, naj zberejo kolikor mogoče veliko mačk, da bodo zajedavce iztrebile. Ljudje so stopili skupaj in zbrali veliko mačk, in konec leta so našteli natanko 1 111 111 ujetih miši, vsak mačkon pa je ujel enako število miši, in to več, kot je bilo vseh mačkonov skupaj.

Najbrž ste že ugotovili, da gre za števila, ki imajo za vse števke enke in ki nas morda lahko spomnijo na športno napoved, ali pa na sliko redovalnice ne preveč pridnega šolarja, če smo malce hudomušni.

Tako je in na splošno (ki ima n enk). Na pogled zelo preprosta in nepomembna števila imajo zelo lepe lastnosti in so tudi uporabna.

Kako bi torej napisali poljubno enično število še drugače? Odgovor je preprost: sešteti moramo n potenc števila 10 z zaporednimi eksponenti od 0 do n – 1.

Toda ta zapis je očitno neroden, zato si pomagamo s trikom. Do števila pridemo tudi tako, da od potence števila 10 odštejemo 1 (tako pridemo do števila iz samih devetic) in potem to število delimo z 9.

ali na splošno (število ima n enk). Zapis je krajši in lepši od prejšnjega.

Pri vseh posebnih podmnožicah naravnih števil se slej ko prej vprašamo, ali so morda njihovi elementi tudi praštevila. Tako se je zgodilo tudi z eničnimi števili. Zanje so se začeli matematiki zanimati in jih v 19. stoletju raziskovati. Ena njihovih pomembnejših ugotovitev je trditev: če je m dolžina periode obratne vrednosti praštevila p, ki je večje od 5, potem velja, da je enično število deljivo s tem praštevilom p.

Bralci gotovo vedo, da se da vsak ulomek zapisati kot decimalno število s končno mnogo decimalkami, če se da imenovalec dopolniti do potence števila 10 (to so t. i. desetiški ulomki), ali pa je decimalk neskončno mnogo, vendar se periodično ponavljajo (sklop decimalk, ki se ponavlja, se imenuje perioda). Ker gre v našem primeru za obratne vrednosti praštevil, bomo vedno prišli do periodičnih decimalnih števil.

Dokaz trditve je za nas pretežak, zato bomo njeno veljavnost preverili na najpreprostejšem primeru, za praštevilo p = 7. Obratna vrednost števila 7 je ulomek , ki ima periodo dolžine 6, zato mora biti število deljivo s 7. In tudi je, saj velja .

Preverimo trditev še za naslednje praštevilo. Obratna vrednost naslednjega praštevila, 11, je , iz česar vidimo, da je dvomestno enično število deljivo z 11, kar je očitno.

Za naprej poglejmo spodnjo tabelo prvih 30 eničnih števil, ki so zapisana kot produkt prafaktorjev oz. v »enem kosu«, če so praštevila.

Takoj opazimo, da so z 11 deljiva samo enična števila s sodo mnogo števkami. To je tudi razumljivo, saj poznamo kriterij za deljivost z 11: vsako drugo števko števila n pomnožimo z (–1) in potem vse števke seštejemo. Če je vsota –11, 0 ali 11, je število n deljivo z 11. V našem primeru so vse števke enke, in ker jih je sodo mnogo, je rezultat opisane operacije vedno 0.

Tabela nam ponuja tudi odgovor na vprašanje, ki ga sploh še nismo zastavili, ste si ga pa najbrž kar sami. Koliko je bilo teh pogumnih mačkonov? Število 1 111 111 oz. E₇ je produkt dveh faktorjev, 239 in 4649, zato je bilo mačkonov 239. Kako se je Dudeney domislil te uganke, se ne ve, očitno pa so ga zanimala enična števila, čeprav v tistem času še niso bila tako znana in upoštevana.

V tabeli opazimo le nekaj eničnih števil, ki niso razcepna na manjše faktorje, ker so praštevila. Do sedaj so našli le pet eničnih praštevil: in , obstaja pa domneva, da jih je neskončno mnogo (samo dokazati jo bo še treba). Enična števila in praštevila so posebej pomembna za kriptografijo oz. za šifriranje sporočil. Posebej uporabna so v bančništvu, saj je od zanesljivosti kodnega ključa odvisna varnost naših prihrankov.

S tem pa zanimivosti eničnih števil še ni konec. Zaporedne potence eničnih števil od E₂ do E₉ so števila, ki jih enako beremo od leve proti desni in od desne proti levi ter jim rečemo številski palindromi. Podobno poznamo palindromne stavke, kot npr. Šepam od doma peš ali Edo suče meč usode ali Črv nese lesen vrč.

Do eničnih števil pridemo tudi na druge načine. Poglejmo jih nekaj:

Če vas je tema začela zanimati, lahko nadaljujete zadnji primer z vsoto števila iz šestih dvojk in kvadrata števila iz šestih trojk … Morda bo spet enično število. Lahko pa s pomočjo tabele ugotovite tudi, katera enična števila so deljiva s 111, 1111, 11111 itn.

Avtor: Gregor Pavlič

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

The post ENIČNA ŠTEVILA appeared first on Modra akademija.

KVIZ: KAKO DOBRO POZNATE ROTACIJSKA TELESA?

Klaudija Doljac — Wed, 29 Jun 2022 15:24:21 +0000

KVIZ: KAKO DOBRO POZNATE ROTACIJSKA TELESA?

Rešite kviz o rotacijskih telesih (vrteninah). Vsebino lahko uporabite za nadgradnjo vsebin pri pouku v osnovni šoli kot izbirne vsebine za učence, ki želijo še več.

NA KVIZ >>

Kviz z rešitvami >>

Avtorica kviza: Simona Zupan

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

The post KVIZ: KAKO DOBRO POZNATE ROTACIJSKA TELESA? appeared first on Modra akademija.

PIEZIJA

Klaudija Doljac — Tue, 17 May 2022 10:14:07 +0000

PIEZIJA

Ocena 3 je čist v redu,
z enko nisi nč naredu,
če s štirico cvek zamenaš,
še petico lohk spedenaš.
Na kaj pomislš ob devetki?
Sta dva, zgodijo se začetki …
Pol šest dni čakaš na nedelo,
pet dni delaš kr veselo.
Trije so komot družina,
pet jih je že fajn skupina,
ko zvečer je ura os’m,
lohk sam za počitk pros’m,
ob devetih res sm hin,
nej sedemkrat to ponovim!
Za devetimi gorami
tri princeske u pižami,
dva navihana falota,
osem dilc visi iz plota,
tri princese onemijo,
štiri mačke prepodijo,
ko odbije ura šest,
dve princeski gresta jest.
Miza ima štiri noge,
tri so res že orng boge,
komaj že te tri stojijo,
osem dilc je šlo adijo.
Tri princeske so obstale,
dva falota so čakale,
dolgih, strašnih sedem let,
devetkrat se obrne svet.
Še ko peto leto mine,
nič na pamet jim ne šine,
dva falota brez idej
prečkala sta osem mej.
Osem mej do zlate sreče
na štir’ strani neba jih vleče,
a le ena je resnica,
devetka je vseh števk kraljica,
sedmica v kartah srečo nosi,
enka pa za milost prosi,
pri šestih v šoli so nasveti,
zadnji razred je deveti.

V tretjem – živele ocene,
v devetem delajo probleme,
v devetem gnjavijo za tri,
od sedmih zjutrej do noči.
Vsaj petina jih zamuja,
osem se jih zmerej kuja,
eden hoče vse razbit,
nič ni treba se slepit.
A si petko zdej zaslužmo?
Lahko pa se v osmici družmo,
čist okej nam je dvojina,
nič nam ne kali spomina.
Devet besed prinese srečo,
sedem palčkov nosi vrečo,
svet so štirje letni časi,
štirje pesniki na vasi,
ob petih so že vsi v gostilni,
do devetih v vnemi silni
dvojno vidijo, seveda,
trije nimajo soseda,
domov se nič jim ne mudi,
sedma sila jim teži.
Osem lajkov na objavo,
eden si prisluži slavo,
šest jih ploska, štirje ne,
nič je hkrati čisto vse.
Šest zelo prodanih duš,
dva sta delala na fuš,
osem se jih je smejalo,
šestim podkupnino dalo.
Tista dva, ki sta garala,
prav nič nista se smejala,
zamerila sta osmim res,
ob devetih kurla kres.
Devet polen močno gori,
osem norcev se boji,
šest jih zraven trepeta,
kriva sta pa tista dva,
ki vseh osem sta strašila,
a za kazen nič dobila.

Ta reč se v nedogled vrti,
ker takšno je število π.

Dragica Šteh

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

The post PIEZIJA appeared first on Modra akademija.

SUDOKU – NEREŠLJIV MATEMATIČNI PROBLEM?

Klaudija Doljac — Tue, 27 Oct 2020 08:52:37 +0000

SUDOKU – NEREŠLJIV MATEMATIČNI PROBLEM?

Leta 1986 je japonska ugankarska revija Nikoli Co Ltd. začela objavljati logične uganke, ki so obnorele svet. Najbolj zanimivo je, da korenine igre segajo v 18. stoletje in da jo danes v šolah priporočajo učencem za razvijanje logičnih spretnosti, le redki pa se zavedajo, da je sudoku primer še nerešenega problema, ki ga skušajo razvozlati najslavnejši matematiki.

SLIKA 1

Sudoku je latinski kvadrat

Sudoku je poseben primer latinskega kvadrata reda 9 x 9. Latinski kvadrat reda n x n je kvadratna shema, v kateri nastopijo števila od 1 do n v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu natanko enkrat. Latinski kvadrati so lahko različnih redov od 1 naprej. Prvi se je z njimi resno ukvarjal eden največjih matematičnih genijev Leonhard Euler in jim tudi dal ime.

Slika 2: Leonhard Euler (1707–1783)

Slika 3: Latinskemu kvadratu zelo podobno shemo so našli napisano na steni kopališča v vili bogatega rimskega meščana v zasutih Pompejih. Besedilo je zanimivo, ker nosi jasno sporočilo: »Sejalec Arepo pri delu drži plug«, ki ga lahko beremo enako v štirih smereh (vodoravno in navpično).

Slika 4: Elementi latinskega kvadrata so lahko tudi črke in drugi simboli, pa tudi barve in vzorci.

Sudoku rešujemo s kombinatoriko

Za izračun števila različnih latinskih kvadratov posameznega reda potrebujemo precej logičnega sklepanja ali pa nekaj znanja kombinatorike.

Očitno je latinski kvadrat reda 1 le eden, tudi pri redu 2 ni težav – obstajata dva različna, pri redu 3 pa je že nekaj več dela.

Slika 5

Sudoku – kako se ga lotiti?

Zamislimo si prazno razpredelnico kvadratne oblike 3 x 3. V posamezna polja moramo razvrstiti števila od 1 do 3 tako, da nastopijo vsa tri v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu natanko po enkrat.

Denimo, da začnemo z najvišjim poljem prvega stolpca: vanj lahko razporedimo eno od treh števk – zato imamo tri možnosti. V spodnje polje lahko razvrstimo eno od ostalih dveh števk, imamo torej dve možnosti; za zadnje polje stolpca nam ostane ena števka. Po osnovnem izreku kombinatorike je vseh razporedov toliko, kolikor je razvrstitev ali permutacij treh števil, to pa je P₃ = 3! = 3 · 2 · 1 = 6. Eno od teh šestih možnosti kaže slika 6.

Slika 6

Za izpolnitev zgornjega polja drugega stolpca imamo zaradi zahteve igre na razpolago le dve števki; recimo, da izberemo 3; v drugo polje moramo postaviti števko, ki ni 3 in 1 – zato je lahko le 2; v spodnje polje moramo postaviti 1. Možnosti za drugi stolpec sta tako le dve.

Slika 7

Števke zadnjega stolpca so natančno določene že s pravili igre.

Slika 8

Spet se spomnimo osnovnega izreka kombinatorike in vidimo, da je število možnosti za zapolnitev latinskega kvadrata 3 x 3 enako 12.

Vseh latinskih kvadratov reda 4 x 4 je kar 576, dva od njih pa sta posebnega pomena za abstraktno algebro, vejo matematike, ki se je začela razvijati v 19. stoletju.

Razvrstitev števil v omenjenih dveh latinskih kvadratih definirata dve dvočleni operaciji elementov množice , ki jima po zgledu množenja s števili rečemo kar »poštevanki«. Lastnosti obeh operacij lahko preberemo iz posamezne tabele.

Slika 9 (a, b)

Slika 10: Norveški matematik Niels Henrik Abel (1802–1829)

Kleinov četverček

Množica z operacijo iz prvega kvadrata se imenuje Kleinov četverček in pomeni Abelovo grupo – množico s posebno strukturo, ki zadošča naslednjim zahtevam:

Operacija je notranja: »produkt« katerih koli dveh elementov je spet element množice.
V množici obstaja nevtralni element, podobno kot bi v množici celih števil množili z 1.
Vsakemu elementu lahko najdemo natanko en inverzni element, ki pri množenju z njim da nevtralni element.
Operacija je komutativna oz. vrstni red elementov v operaciji ni pomemben.

O zgornjih zahtevah se za Kleinov četverček ni težko prepričati:

Prva zahteva je očitno izpolnjena – v tabeli so le elementi od 1 do 4.
Nevtralni element je 1.
Vsak element je inverzen samemu sebi: , , , .
Komutativnost lahko vidimo iz simetričnosti tabele glede na glavno diagonalo.

Ciklični četverček

Zelo podobno lahko ugotovimo, da je ista množica pri operaciji »množenja po modulu 5«, ko števili običajno zmnožimo in od produkta odštejemo mnogokratnik števila 5, da je rezultat število od 0 do 4, tudi Abelova grupa z imenom »ciklični četverček« (drugi kvadrat na sliki 9). Nevtralni element je spet 1, inverzni elementi zapored pa so 1, 3, 2, 4 (1 in 4 sta inverzna sama sebi, 2 in 3 pa drug drugemu). Zaradi komutativnosti je tudi ta tabela simetrična glede na glavno diagonalo.

Na pogled in po imenu abstraktna matematika latinskih kvadratov se je kasneje izkazala za zelo uporabno tudi v drugih znanostih, predvsem pri raziskavah molekularne simetrije in pri spektroskopiji.

USTVARITE NOVO ZNANJE – SPOZNAJTE NAJBOLJ MODRE WEBINARJE

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

Kako rešujemo sudoku?

Pravila reševanja uganke sudoku so preprosta: v kvadratno razpredelnico, ki ima 9 x 9 polj in je sestavljena iz devetih kvadratnih razpredelnic s po 3 x 3 polji, med katerimi so nekatera izpolnjena s števkami – to so podatki – druga pa prazna, je treba vstaviti števke od 1 do 9 tako, da je vsaka od razpredelnic 3 x 3 latinski kvadrat in da je tudi celotna razpredelnica 9 x 9 latinski kvadrat – to pomeni, da v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu nastopajo vse različne števke od 1 do 9. Pri tem za števke ne veljajo nobene aritmetične zakonitosti in jih lahko nadomestimo s črkami, drugimi simboli ali celo z barvami.

Čeprav so pravila preprosta, reševanje zahteva precej kombinatoričnih spretnosti. Uganke so razvrščene po težavnosti – v preproste, srednje težke in težke.

Sudoku v matematiki

Pojav igre sudoku se je dotaknil tudi matematikov znanstvenikov. Ugotovili so, da je teoretično iskanje števila rešitev igre sudoku NP-problem. Za osvetlitev najprej poglejmo nekaj ozadja.

Za reševanje problemov matematiki uporabljajo postopke, ki se imenujejo algoritmi. Včasih algoritem teoretično obstaja, v praksi pa ni uporaben. Preprost primer takega algoritma je Eratostenovo sito za iskanje praštevil. Naravno število, za katero ne vemo, ali je praštevilo ali sestavljeno število, moramo po vrsti deliti z vsemi števili, ki so manjša od , in ugotoviti morebitno deljivost ali nedeljivost.

Na pogled zelo preprosto, v praksi pa neizvedljivo, saj bi za testiranje petdesetmestnega števila izredno učinkovit računalniški program potreboval (verjeli ali ne!) deset milijard let. Navedeni primer je zelo sodoben, saj v kriptografiji (tajnopisju) danes uporabljajo praštevila, ki imajo od 70 do 100 mest.

Učinkovitost algoritma pri reševanju sudokuja

Poleg obstoja algoritma je torej zelo pomembna tudi njegova učinkovitost; slednjo merijo s številom korakov, ki jih za rešitev problema naredi t. i. Turingov stroj. To je hipotetična računska naprava, sestavljena iz glave in neskončnega celičnega traku. Glava Turingovega stroja lahko naenkrat s traku prebere znak ali ga nanj napiše. Celice na traku so lahko prazne ali pa vsebujejo znak neke »abecede« – najpreprostejša je kar tista z znakoma 0 in 1 (glava je v vsakem trenutku v enem od teh dveh stanj).

Delovanje stroja poteka zaporedno po korakih, vsak korak pa je sestavljen iz treh različnih dejanj. Glava vsakokrat pregleda celico na traku, in naslednji opravek je odvisen prav od vsebine te celice in stanja stroja. Glede na ta dva podatka stroj zbriše obstoječi znak in pusti presledek ali pa zapiše nov znak (ki je lahko enak zbrisanemu). Nato stroj premakne trak v eno ali drugo smer.

Obnašanje stroja je tako določeno z množico navodil, ki za vsako stanje in vsak prebrani simbol predpisujejo, katera tri dejanja se morajo izvesti. To zaporedje navodil se imenuje tudi algoritem.

Slika 11: Alan Turing (1912–1954)

Polinomski in eksponentni algoritmi

Algoritem je polinomski oz. teče v polinomskem času, če je za reševanje naloge z vhodnimi podatki dolžine n potrebnih manj kot korakov in sta C in k isti naravni števili za vsak n.

Algoritmi, ki ne tečejo v polinomskem času, so eksponentni. Najbrž je že jasno, da so učinkoviti le polinomski algoritmi, eksponentni pa so zaradi prevelike časovne zahtevnosti neučinkoviti.

Od vseh se danes najbolj ukvarjajo z NP-polnimi problemi: ti so eksponentni, da pa se to dokazati v polinomskem času.

Nedeterministični polinomski čas

Najslavnejši NP-problemi (kratica pomeni nedeterministični polinomski čas) so:

Problem trgovskega potnika: Trgovski potnik mora obhoditi večje število (npr. n > 50) različnih krajev. Izbrati je treba tisti vrstni red, pri katerem bo prepotovana razdalja najkrajša.
Problem Hamiltonovega cikla: Množica krajev je povezana s cestnim omrežjem. Ali obstaja obhod, pri katerem vsak kraj obiščemo natanko enkrat in se vrnemo v izhodiščno točko?
Barvanje zemljevida: Ali je mogoče dani zemljevid pobarvati s tremi barvami tako, da sta sosednji državi obarvani z različnima barvama?
Razvrščanje poslov na več procesorjih: Imamo množico poslov in množico procesorjev in za vsak posel vemo, koliko časa bi tekel na posameznem procesorju. Procesorji delajo paralelno, obdelava poslov na posameznem procesorju pa zaporedno. Ali je mogoče posle razporediti na procesorje tako, da bo celotna obdelava zahtevala določeno vnaprej znano število (ali celo manj) časovnih enot?

Za naštete naloge, pa tudi za rešitve igre sudoku višjega reda še niso našli učinkovitih algoritmov, in vse kaže, da najbrž sploh ne obstajajo.

Avtor: Gregor Pavlič

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

The post SUDOKU – NEREŠLJIV MATEMATIČNI PROBLEM? appeared first on Modra akademija.

VERJETNOSTNI RAČUN

Klaudija Doljac — Tue, 27 Oct 2020 08:51:27 +0000

VERJETNOSTNI RAČUN

Pravilno geometrijsko telo heksaeder z rahlo obrušenimi ogli in z naslikanimi pikami je v zgodovini ljudem prineslo veliko užitka, pa tudi veliko gorja. Marsikdo je v igralni vročici stavil vse in – dobil ali izgubil. Igralna kocka je v 16. stoletju postala tudi predmet preučevanja matematikov in porodila novo matematično disciplino – verjetnostni račun.

Verjetnostni račun skozi zgodovino

Iznajdba igralne kocke je zavita v skrivnost, kar ni čudno, saj naj bi jo poznali in se z njo zabavali že pred več kot 5000 leti. Res še ni imela natančno take oblike kot danes, imela pa je isto funkcijo. Najstarejši predhodniki današnjih igralnih kock so astragaliji: drobne gleženjske kosti dvoprstih kopitarjev. Te kosti imajo šest stranskih ploskev, od katerih so štiri ravne, in so po vsej verjetnosti služile za igro. Astragalije so uporabljali stari Egipčani že 3500 let pr. Kr. Najpogosteje so uporabljali ovčje kosti, najbolj cenjene pa so bile kosti antilope.

Po Platonu naj bi kocko iznašli bogovi, natančneje, egipčansko božanstvo Teuta. Spet po drugi razlagi naj bi jo iznašel Palamed, grški junak pred Trojo, ki je bil znan po izredni bistroumnosti. Njegovi vojaki naj bi si med obleganjem Troje krajšali čas z »metanjem kosti«. Grški zgodovinar Herodot pripisuje iznajdbo praktičnim Lidijcem, ki so z igro blažili hudo lakoto: vsak drugi dan so jedli, vmes pa so kockali.

SLIKA 1: Grška vojaka pri igri

Verjetnostni račun in Rimljani

Igre na srečo so poznali tudi stari Rimljani. Pri izkopavanjih v tragično zasutih Pompejih in Herkulaneumu so namreč našli tudi igralne kocke. Rimski cesarji Avgust, Komod, Kaligula in Neron so bili prav obsedeni s kockanjem. Klavdij, strasten hazarder, je o tej igri celo napisal razpravo, ki pa se ni ohranila. Bil je tako zasvojen, da je imel na svojem potovalnem vozu posebno vgrajeno mizo, ki je omogočala igranje tudi na najslabših poteh. V eni sami igri je bil sposoben staviti tudi bajnih 400 000 sestercev.

SLIKA 2: Stenska slika prikazuje Rimljanke pri kockanju z astragalijem

Uporaba verjetnostnega računa pri kockanju

Iz zgodovinskih poročil je vidno, da so kocko poleg preprostih ljudi z veseljem metali tudi vladarji. Norveški kralj Olaf Haraldsson je v 11. stoletju na kocko postavil kar celo kraljestvo, v času francoskega kralja Henrika IV. pa je ta zabava dobesedno obnorela dvor.

Sčasoma so se pri tej igri pojavile tudi goljufije oz. obtežene kocke, zato je bilo kockanje v 16. stoletju kar sinonim za goljufanje. Leta 1545 je izšla razprava Toxophilus, v kateri je avtor Roger Ascham naštel in opisal vse mogoče načine goljufanja pri kockanju.

Slika 3 prikazuje nekatere od 24 igralnih kock, ki so jih leta 1984 izkopali na bregu Temze. Bile so last profesionalnega goljufa s konca 15. stoletja. Od vseh kock jih je bilo 18 navrtanih in obteženih. 11 kock je imelo vdelane tri tanke žile živega srebra in so največkrat pokazale 5 ali 6 pik. Sedem kock je bilo obdelanih tako, da so najpogosteje pokazale 1 ali 2 piki. Od ostalih šestih kock so bile tri kocke dvojno označene s 4, 5 in 6 pikami (tako kocko so imenovali high man), ostale tri pa so bile dvojno označene z 1, 2 in 3 pikami (low man).

USTVARITE NOVO ZNANJE – SPOZNAJTE NAJBOLJ MODRE WEBINARJE

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

Anekdota ob kockanju

Najbolj razvpito razpravo o kockanju je leta 1654 sprožil francoski vitez in strastni hazarder Antoine Gombauld de Méré. Njegova posebnost je bila stava, da bo v štirih zaporednih metih kocke vsaj enkrat padla šestica. De Méré je pri tej stavi vztrajno dobival in kopičil bogastvo, dokler se ni stave naveličal in je spremenil pogoje igre.

Odtlej je stavil, da bosta dve kocki v 24 zaporednih metih obe vsaj enkrat pokazali 6 pik. Po spremembi so se stvari začele obračati na slabše in kazalo je, da ga je sreča povsem zapustila. V obupu se je s pismom obrnil na tedaj najbolj znanega francoskega matematika Blaisa Pascala, ki je s problemom seznanil tudi kolega Pierra de Fermata. Izračunala sta, da je bila verjetnost zmage v prvi stavi približno 0,52 oz. 52 %, v drugi stavi pa malo manj od polovice, zato je vitez na dolge roke oz. v mnogo igrah izgubljal. Pascal se je v pismu Fermatu ob viteza obregnil z besedami: »Je zelo inteligenten, vendar je slab matematik; to pa je, kot veste sami, velika pomanjkljivost.«

SLIKA 4: Blaise Pascal (1623–1662) in Pierre de Fermat (1601–1665)

Pascal in verjetnostni račun

Pascal in Fermat se nista ukvarjala le z računanjem verjetnosti zmage pri določenih stavah, ampak tudi s problemom delitve stave v primeru, da se igra iz kakršnegakoli razloga ni končala. S to nalogo so se že prej spopadali mnogi italijanski matematiki iz obdobja renesanse. Med njimi so bili Pacioli, Cardan in Tartaglio, vendar zadovoljive rešitve niso našli. Fermat je do rešitve skušal priti tako, da je preštel vse mogoče zaključke igre. Potem je ugotavljal, kateri od teh bi bili za posameznega igralca ugodni. Toda preračunavanje je z naraščajočim številom iger postalo zelo zamudno.

Pascal je ubral drugo pot. V Razpravi o aritmetičnem trikotniku (Traité du triangle arithmétique) je pojasnil povezavo med števili aritmetičnega (Pascalovega) trikotnika in rešitvijo zastavljenega problema.

Verjetnostni račun po Pascalovem trikotniku

Recimo, da igralec A za končno zmago potrebuje dve igri, igralec B pa tri igre. Potem eden od obeh igralcev zagotovo zmaga v najmanj štirih igrah. Pogledamo 4. vrstico Pascalovega trikotnika: 1, 4, 6, 4, 1, in izračunamo razmerje, v katerem morata igralca deliti nagrado: (1 + 4 + 6) : (4 + 1) = 11 : 5. Razlaga je zelo preprosta, spada pa na področje kombinatorike.

Vseh mogočih izidov obeh igralcev pri štirih zaporednih igrah je 16. Iz kombinatoričnega drevesa je razvidno, da je od vseh možnosti le ena takšna, pri kateri A zmaga v štirih igrah, v štirih primerih zmaga trikrat, v šestih primerih dvakrat, v štirih primerih enkrat in v enem primeru vse štiri igre izgubi. Situacija za igralca B je ravno obrnjena. Od 16 možnih zaključkov je 11 zaključkov ugodnih za igralca A in 5 za igralca B, in zato morata dobitek razdeliti v razmerju 11 : 5.

SLIKA 5: Kitajski oz. Pascalov trikotnik, Kombinatorično drevo zadnjih štirih iger stave

Bernoulli in verjetnostni račun

V času Pascala in Fermata so v zvezi s srečo oz. dobitki govorili le o razmerjih števil in še niso uporabljali besede verjetnost. Prvi, ki je verjetnost dogodka umestil med števili 0 in 1, je bil Jacob Bernoulli. Napisal je razpravo o možnostih v igrah na srečo Ars Conjectandi, ki je izšla leta 1713, že po njegovi smrti. Posebno pomembna je bila njegova ugotovitev, da verjetnost dogodka lahko napovemo na podlagi njegove pogostosti v velikem številu ponovitev poskusa.

Bernoullijevo razpravo je za potrebe življenjskega zavarovanja prvi priredil protestantski begunec Abraham de Moivre, ki se je v Londonu preživljal z uradniškim delom.

Matematika, ki sta povzela de Moivrovo delo, sta bila britanska duhovnika in velika nasprotnika iger na srečo Thomas Bayes in Richard Price. Slednji je bil svetovalec za življenjsko zavarovanje pri družbi Equitable, ki je tedaj uspešno poslovala.

Verjetnostni račun v fiziki in astronomiji

Na prelomu stoletja je verjetnostni račun prek teorije napak, ki so jo razvili Adrien-Marie Legendre (1752–1833), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) in Pierre Simone de Laplace (1749–1827), prodrl tudi v fiziko in astronomijo. Laplace je leta 1812 postavil prvo definicijo verjetnostnega računa, zato ga nekateri imenujejo tudi oče verjetnostnega računa.

Poseben pospešek je razvoju nove teorije dal angleški botanik Robert Brown, ki je leta 1828 opazil nepravilno gibanje semen v vodi. To, kar se danes imenuje Brownovo gibanje, so znanstveniki razumeli šele leta 1905, ko je Albert Einstein s svojimi raziskavami pojasnil molekularno gibanje kot naključni pojav.

Nadaljnji razvoj verjetnostne teorije smo v glavnem dolžni ruski matematični šoli, katere glavni predstavniki so Peter Lvovič Čebišev (1821–1894), njegov študent Andrej Andrejevič Markov (1856–1922) in Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903–1987). Slednji je v razpravi Temelji verjetnostne teorije leta 1933 postavil aksiome verjetnostnega računa.

Avtor prispevka: Gregor Pavlič

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

The post VERJETNOSTNI RAČUN appeared first on Modra akademija.

VZORCI PRI POUKU MATEMATIKE

Klaudija Doljac — Tue, 27 Oct 2020 08:48:05 +0000

VZORCI PRI POUKU MATEMATIKE

S prenovljenim učnim načrtom so se vzorcem na široko odprla vrata v pouk matematike. Učenci vzorce prepoznavajo, nadaljujejo, izpeljujejo posplošitve – verbalno in simbolno. V prispevku so predstavljeni nekateri vzorci, ki se pojavljajo na različnih stopnjah osnovnošolskega izobraževanja.

V vsakdanjem življenju lahko najdemo vzorce v različnih pojavnih oblikah (ciklično menjavanje letnih časov, izmenjevanje svetlega in temnega dela dneva, ritmične pesmi in plesi, vzorci na oblačilih, fasadah stavb …). Z vsemi se otrok seznani že v predšolskem obdobju.

Nizanje perlic na vrvic

Glasba in ritmično gibanje (Vir: Shutterstock)

Vzorci na fasadi (Vir: Shutterstock)

Vzorci v prvi triadi

Vzorce se začne sistematično obravnavati že v prvem razredu. V učnem načrtu so opredeljeni z dvema ciljema, ki se ponovita še v drugem in tretjem razredu.

Učenci naj bi:

oblikovali slikovne in geometrijske vzorce,
prepoznali pravilo v slikovnem in geometrijskem vzorcu in vzorec nadaljevali.

V didaktičnih priporočilih učnega načrta je zapisano še, da naj bi učenci na tej stopnji že ugotovili, da je barvni vzorec rdeče-rdeče-modro-rdeče-rdeče-modro vzorec z enakim »pravilom« kot glasovni vzorec ko-ko-dak-ko-ko-dak. Na ta način učence že v zgodnjih letih izobraževanja uvedemo v algebro. Prvi koraki temeljijo na ugotovitvi, da lahko zapisana vzorca opišemo kot AABAAB.

Ker učni načrt ne predpisuje stopnjevanja učne vsebine, moramo biti pri pouku toliko bolj previdni, da se obravnava po težavnosti kljub temu stopnjuje. Zato v prvem razredu običajno obravnavamo najpreprostejši vzorec ABAB.

Vzorce sestavljamo z:

najrazličnejšim nestrukturiranim materialom:
- drevesnimi listi,
- plodovi,
- sponkami,
- gumbi;
pa tudi z geometrijskimi telesi, liki,
s številkami in črkami.

Vzorce gradimo v vse smeri, vodoravno, navpično, poševno, od leve proti desni, v vrstice, v stolpce …

Vzorec ABAB z drevesnimi listi, od leve proti desni

Vzorec ABBABB s sponkami, nadaljevanje v obe smeri

Vzorec ABCABC s stolpcem iz kock

V učbeniških gradivih se največkrat pojavijo v obliki izmeničnega barvanja, risanja likov ali zapisovanja črk oz. številk.

Učbenik Lili in Bine, SDZ za matematiko, 1. del, str. 12

Učbenik En dva tri, odkrij jo ti, 1. del str. 56

Učbenik En dva tri, odkrij jo ti, 1. del str. 33

USTVARITE NOVO ZNANJE – SPOZNAJTE NAJBOLJ MODRE WEBINARJE

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

Vzorci v drugi triadi

V drugi triadi se cilja iz prve triade tako rekoč ponovita. V didaktičnih priporočilih pa je omenjeno, da naj »učenci oblikujejo simetrične oblike in vzorce s premiki, vrteži ter z zrcaljenjem«. Primer takega oblikovanja vzorca je:

►▼▲◄ ►▼▲◄

Na tej stopnji poskušamo od učencev že dobiti ubeseditev pravila. Seznanijo se tudi z osnovnim besediščem (osnovni motiv oz. gradnik vzorca, člen vzorca, vzporedni premik, zrcaljenje in vrtež).

V šestem razredu učenci že »v mislih« nadaljujejo vzorce z več členi, kot jih lahko sestavijo oz. narišejo, ter poskušajo ugotoviti, kateri del osnovnega motiva stoji npr. na 20. mestu vzorca. Pri tem si pomagajo z matematičnimi pravili, formulami … (UN, str. 39).

Uporabljamo tudi t. i. »naraščajoče« vzorce.

Učbenik Svet števil in oblik 7, str. 100

Učbenik Kocka 6, str. 74

Vzorci v tretji triadi

V 7. razredu se učenci učijo posploševanja in zapisovanja algebrskih izrazov. Uporabijo pridobljeno znanje o vzorcih in ga nadgradijo. »Učenci opazujejo vzorce, ugotovijo pravilo in ga zapišejo z algebrskim izrazom. Primer: Koliko vžigalic bi potrebovali za 10. lik (za 7. razred) in koliko vžigalic za n-ti lik (8. razred)?« (UN, str. 56

Že angleški matematik Hardy je leta 1940 primerjal matematike s slikarji in pesniki, ki v svojih umetninah ustvarjajo vzorce, le da so vzorci matematikov trajnejši, zgrajeni iz idej. Morda je matematika prav zaradi tega postala tako uspešna in prepletena z drugimi vejami znanosti, navsezadnje jih kot merilo inteligence uporabljajo tudi psihologi.

Priloga: učni list

Avtorica prispevka: Simona Knez

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

The post VZORCI PRI POUKU MATEMATIKE appeared first on Modra akademija.

VRTENINE

Klaudija Doljac — Tue, 27 Oct 2020 08:47:55 +0000

VRTENINE

Rotacija ali vrtenje je vsakodnevni pojav v življenju. In čeprav se nam pogosto vrti predvsem v glavi od vseh obveznosti ali zaradi navdušenja, v tem članku vrtenine spoznavamo kot matematični pojem.

Poleg številnih rotacij, ki jih opazimo (rotacijska luč na vozilih nujne vožnje, mlinsko kolo, vrtenje koles na vozilih …), je bistvena rotacija Zemlje, ki ni vidna, jo pa lahko občutimo. Njena najopaznejša posledica je menjavanje dneva in noči, vpliva pa tudi na plimovanje morja. V matematiki je zasuk ali vrtež ena osnovnih preslikav.

Vrtenine (rotacijska telesa) so geometrijska telesa, ki nastanejo z vrtenjem ravninskega geometrijskega lika okoli osi vrtenja. Tako nastalo telo je lahko tudi sestavljeno geometrijsko telo, katerega površina je enaka vsoti ploščin vseh mejnih ploskev, ki telo omejujejo, prostornina pa je enaka vsoti ali razliki posameznih prostornin.

Za lažje seznanjanje s pojmom vrtenine sem v nadaljevanju pripravila temeljito zbirko nalog, ki se jih lahko lotite s svojimi učenci.

Spoznavanje vrtenin

Za lažjo vizualizacijo pojma naj učenci pri pouku izdelajo pripomoček: palčke z nalepljenimi liki. Iz papirja izrežejo 4 skladne pravokotnike, 3 skladne pravokotne trikotnike in en krog. Označijo jih, kot kaže slika.

Like nalepijo na palčke, kot kažejo fotografije.

Palčka ponazarja os vrtenja. Primi jo med prste in zavrti. Katero telo opiše lik med vrtenjem? Skiciraj ga in označi.

a) os vrtenja je nosilka stranice a – VALJ

b) os vrtenja je nosilka stranice b – VALJ

c) os vrtenja je simetrala stranice a – VALJ

č) os vrtenja je simetrala stranice b – VALJ

d) os vrtenja je nosilka katete k₁ – STOŽEC

e) os vrtenja je nosilka katete k₂ – STOŽEC

f) os vrtenja je nosilka hipotenuze – DVOJNI STOŽEC

g) os vrtenja je nosilka premera – KROGLA

VRTENINE: Računske naloge

1. Ugotovi, katero telo nastane z vrtenjem pravokotnika z dimenzijami 4 cm x 2,5 cm okoli dane osi za polni kot, in ga skiciraj.

a) Tako nastalemu telesu določi polmer osnovne ploskve in višino ter izračunaj njegovo površino.

b) Tako nastalemu telesu določi premer osnovne ploskve in višino ter izračunaj njegovo prostornino.

2. Pravokotni trikotnik s katetama 6 cm in 8 cm za 360° zavrtimo okoli hipotenuze. Nastaneta dva stožca, ki imata skupno osnovno ploskev s polmerom 4,8 cm. Skiciraj nastalo telo in izračunaj njegovo površino.

3. Pravokotni trikotnik s katetama 5 m in 12 m zavrtimo okoli katet za 360°. Nastaneta dva stožca. Skiciraj ju.

a) Za koliko se razlikujeta njuni prostornini?

b) Za koliko se razlikujeta njuni površini?

4. Kvadrat s ploščino 81 dm² za 360° zavrtimo okoli nosilke stranice. Izračunaj površino in prostornino nastale vrtenine. Skiciraj jo.

5. Enakokraki trikotnik z osnovnico 8 cm in višino 3 cm za 180° zavrtimo okoli nosilke višine na osnovnico. Izračunaj prostornino in površino nastale vrtenine. Skiciraj jo.

6. Krog s premerom 14 mm za 180° zavrtimo okoli nosilke premera. Izračunaj površino in prostornino nastale vrtenine. Skiciraj jo.

USTVARITE NOVO ZNANJE – SPOZNAJTE NAJBOLJ MODRE WEBINARJE

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

VRTENINE: Težje naloge

1. Pravokotni trapez z osnovnicama 6 cm in 9 cm ter višino 4 cm zavrtimo okoli kraka, ki je pravokoten na osnovnici za polni kot. Nariši skico ter izračunaj površino in prostornino nastale vrtenine.

2. Pravokotni trapez z osnovnicama 9 m in 12 m ter višino 4 m zavrtimo za polni kot okoli nosilk krajše osnovnice in daljše osnovnice, da nastaneta vrtenini. Nariši skici ter izračunaj njuni površini in prostornini.

3. Iz pravokotnika z dolžino 5 cm in širino 8 cm izrežemo četrtino kroga s središčem v oglišču D in polmerom 3 cm. Dobljeni lik zavrtimo okoli nosilke daljice AD za polni kot. Nariši skico nastale vrtenine ter izračunaj njeno površino in prostornino.

Zaniminost: Toroid

Če krog za 360° zavrtimo okoli osi, ki je več kot za polmer oddaljena od središča kroga, nastane telo, ki ga imenujemo TOROID, ploskev, ki telo omejuje, pa je TORUS ali SVITEK.

Naloge so na voljo tudi znotraj delovnih zvezkov, tako da jih lahko uporabite pri delu v razredu.

Avtorica prispevka: Simona Zupan

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

POGLEJ AKTUALNE WEBINARJE

The post VRTENINE appeared first on Modra akademija.

matematika Archives - Modra akademija

UČENJE PO MERI VSAKEGA UČENCA – S PORTALOMA IZZIROKUS IN 5KA

UČENJE PO MERI VSAKEGA UČENCA – S PORTALOMA IZZIROKUS IN 5KA

Založbi Rokus Klett in Modrijan izobraževanje ter resnozabavna spletna učilnica 5KA na VOYO skupaj za podporo učencem in učiteljem

Deli članek na:

Preberite tudi:

SPLETNA PREDAVANJA V ŠOLSKEM LETU 2026/27

Učitelj v svetu sprememb | Izobraževanje za učitelje in ravnatelje

11. ROKUSOVA AKADEMIJA ZA RAZREDNI POUK

IZKUŠNJA: USTVARJALNA MATEMATIKA – PROJEKTNA NALOGA IZ GEOMETRIJSKIH TELES

IZKUŠNJA: USTVARJALNA MATEMATIKA – PROJEKTNA NALOGA IZ GEOMETRIJSKIH TELES

Samostojni od začetka do konca

Deli članek na:

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

Preberite tudi:

SPLETNA PREDAVANJA V ŠOLSKEM LETU 2026/27

Učitelj v svetu sprememb | Izobraževanje za učitelje in ravnatelje

11. ROKUSOVA AKADEMIJA ZA RAZREDNI POUK

IZKUŠNJA: »USPEŠEN SEM, KER SEM SE TAKO ODLOČIL«

IZKUŠNJA: »USPEŠEN SEM, KER SEM SE TAKO ODLOČIL«

Ne le učenci, tudi starši morajo biti motivirani

Primeri strahu, ki ga izrazijo učenci, in kako se jih lotevam v svojem razredu

Primer 1:

Primer 2:

Primer 3:

Rezultat:

In še primer iz prakse

Deli članek na:

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

Preberite tudi:

SPLETNA PREDAVANJA V ŠOLSKEM LETU 2026/27

Učitelj v svetu sprememb | Izobraževanje za učitelje in ravnatelje

11. ROKUSOVA AKADEMIJA ZA RAZREDNI POUK

ENIČNA ŠTEVILA

ENIČNA ŠTEVILA

Deli članek na:

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

Preberite tudi:

SPLETNA PREDAVANJA V ŠOLSKEM LETU 2026/27

Učitelj v svetu sprememb | Izobraževanje za učitelje in ravnatelje

11. ROKUSOVA AKADEMIJA ZA RAZREDNI POUK

KVIZ: KAKO DOBRO POZNATE ROTACIJSKA TELESA?

KVIZ: KAKO DOBRO POZNATE ROTACIJSKA TELESA?

NA KVIZ >>

Deli članek na:

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

Preberite tudi:

SPLETNA PREDAVANJA V ŠOLSKEM LETU 2026/27

Učitelj v svetu sprememb | Izobraževanje za učitelje in ravnatelje

11. ROKUSOVA AKADEMIJA ZA RAZREDNI POUK

PIEZIJA

PIEZIJA

Deli članek na:

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

Preberite tudi:

SPLETNA PREDAVANJA V ŠOLSKEM LETU 2026/27

Učitelj v svetu sprememb | Izobraževanje za učitelje in ravnatelje

11. ROKUSOVA AKADEMIJA ZA RAZREDNI POUK

SUDOKU – NEREŠLJIV MATEMATIČNI PROBLEM?

SUDOKU – NEREŠLJIV MATEMATIČNI PROBLEM?

Deli članek na:

Sudoku je latinski kvadrat

Sudoku rešujemo s kombinatoriko

Sudoku – kako se ga lotiti?

Kleinov četverček

Ciklični četverček

USTVARITE NOVO ZNANJE – SPOZNAJTE NAJBOLJ MODRE WEBINARJE

Kako rešujemo sudoku?

Sudoku v matematiki

Učinkovitost algoritma pri reševanju sudokuja

Polinomski in eksponentni algoritmi

Nedeterministični polinomski čas

Deli članek na:

Ustvarite novo znanje – spoznajte najbolj modre webinarje

Preberite tudi:

SPLETNA PREDAVANJA V ŠOLSKEM LETU 2026/27

Učitelj v svetu sprememb | Izobraževanje za učitelje in ravnatelje

11. ROKUSOVA AKADEMIJA ZA RAZREDNI POUK

VERJETNOSTNI RAČUN

VERJETNOSTNI RAČUN